Ensembles finis Exemples

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

Étape 1

Ajoutez $\frac{10}{x - 3}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{10}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{10}{x - 3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) x$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Étape 2.5

Factorisez $2$ à partir de $14 + 10 x$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Étape 2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Étape 2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (7) + 2 (5 x)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- \frac{8}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{8}{x}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ .

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Étape 2.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 (x - 3)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Étape 2.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Étape 2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Étape 2.9.3

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

Étape 2.9.4

Additionnez $7$ et $12$ .

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Étape 2.9.5

Soustrayez $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Soustrayez $19$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 19$

Étape 5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 19, 3$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x - 3) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 8.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 8.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 19$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 19$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 22$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 22$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0.38\overline{90}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 19 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 19 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $5.4$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 11$ n’est pas supérieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $- 0.\overline{5}$ est supérieur au côté droit $- 3.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 19$ Faux

$- 19 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 19$ Faux

$- 19 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 19 < x < 0$ ou $x > 3$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 19 < x < 0 or x > 3$

Notation d’intervalle :

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

Étape 13